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Quel angle donner à une balle lancée pour qu’elle aille le plus loin possible ?

Avec des bases de la mécanique du lycée, on va tenter de répondre à cette question.

Plaçons-nous dans le repère illustré ci-dessous. Considérons la balle lancée depuis l’origine de notre repère, O, avec une Vitesse initiale Vo et un angle avec l’horizontale noté α

Commençons par poser les conditions initiales, nous en aurons besoin par la suite.
Elles concernent le vecteur position ainsi que le vecteur vitesse. On a :

Le point de départ dans ce genre de problème et de faire le bilan des forces avant d’exploiter la 2e loi de Newton.

En négligeant tout frottement avec l’air, on considérera que seul le poids s’exerce sur la balle lors de son trajet.

La 2e loi de Newton stipule que la somme des forces extérieures s’exerçant sur un système, est un vecteur colinéaire au vecteur accélération instantanée.
Avec la masse inertielle m, pour coefficient de proportionnalité.

Conclusion : L’accélération subie par l’objet est partout égale au vecteur g, symbolisant l’accélération de la pesanteur. Explicitons tout ça, en terme de coordonnées :

L’accélération de la pesanteur est strictement verticale, on l’explicite comme suit :

Comme nous sommes dans le plan, l’accélération peut s’exprimer avec 2 composantes, une verticale ay et une horizontale ax

Or, on a démontré que ces 2 vecteurs étaient égaux. Leurs composantes homologues sont dont forcément égales :

Nous avons explicité les coordonnées du vecteur accélération. Nous pouvons maintenant remonter à la vitesse puis à la position, en se rappelant des définitions suivantes :

En effet, la vitesse instantanée est une différence de position, entre deux points M1 et M2 infiniment proches, divisée par une durée infiniment petite séparant M1 et M2.
De part sa définition, le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.

De même, l’accélération est une variation de la vitesse, donc le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
Les formules ci-dessous sont absolument centrales en mécanique, et même en physique en générale. N’hésitez pas à me poser des questions dessus en commentaire :

En faisant le chemin inverse, comme ici, nous dirons que la vitesse est la primitive de l’accélération.

Ces notations signifient simplement que la composante en x de l’accélération (ax), est la primitive de la vitesse horizontale Vx.
(en dérivant Vx on doit retrouver ax)

La recherche de primitives des composantes du vecteur accélération nous donne les fonctions vitesse horizontales Vx et verticale Vy

C1 et C2 sont des nombre fixés, à priori inconnus

Nous pouvons déterminer C1 et C2 grâce aux conditions initiales que nous avions fixé sur la vitesse.

A l’instant t=0 :

La composante horizontale de la vitesse doit être égale à Vo cos(α) , tandis que la composante verticale de la vitesse doit être égale à Vo sin(α)

Cela nous permet de raisonner comme suit :

On a donc démontré les formules de vitesse verticale et horizontales :

Comme dit plus haut, la position horizontale x et verticale y sont respectivement les primitives des vitesses horizontale et verticale.

Pour Vx c’est simple. Elle est constante donc sa primitive est une fonction affine.

Vous pouvez vérifier que dériver cette équation redonne Vx

La primitive de Vy qui est une fonction affine, est un polynôme de degré 2

Déterminer des primitives n’est pas forcément immédiat au début mais ça vient rapidement avec la pratique. Il suffit de se demander : « Quelle fonction dois-je dériver pour retrouver ma fonction ? »

Ici, c’est y(t) qu’on doit dériver pour retrouver Vy

Je vous laisse le soin de vérifier que y(t) est bien la primitive de Vy. Pour le vérifier, il faut s'assurer que dériver y(t) donne bien Vy(t)

Pour déterminer les constantes C3 et C4, on utilise la condition initiale imposée sur le vecteur position. Celui-ci est nul en t=0, donc x(0) et y(0) doivent forcément être nul.

Cette condition impose C3 = C4 = 0

Nous avons donc trouvé les équations horaires du mouvement. Ces équations sont très puissantes, elles nous permettent de savoir où se situe le système en x et en y, pour un instant donné t :

Comment savoir à quel moment la balle touchera le sol ?

Répondre à cette question revient à déterminer l’instant t qui rend y(t) nulle. En effet, y(t) représentant la hauteur, il est naturel de penser que lorsque y(t) = 0 alors la balle a atteint le sol.
On résout donc pour t

Nous avions considéré que la balle partait du sol, c’est pourquoi on trouve qu’en t = 0 la balle était bien à y = 0
Mais la 2e solution est plus intéressante.

On appelle T le temps qu’a mit la balle pour atteindre le sol.

On voit bien qu'il dépend de l'angle α :

Remarquons que si on fixe la vitesse initiale, la durée T est maximale pour un angle de 90° (cela revient à lancer la balle verticalement)

Ce cas ne nous intéresse pas. Nous nous intéressons à la distance horizontale parcourue en ce temps T.

Pour cela injectons T dans x(t), vu que c’est cette équation qui nous dit combien de distance horizontale a été parcourue en un temps T

Cette dernière équation représente la distance parcourue par la balle avant d’atteindre le sol.

On peut la voir comme une fonction de l’angle alpha seulement, et étudier les variations de la fonction suivante, en fixant Vo :

Etudions les points d'annulations de sa dérivée, (aussi appelés points critiques)

Fixons k=0 pour ne prendre que des valeurs principales d’angles en radian.

Le 1er point critique est donc en α = π/4
La fonction donnant la distance parcourue avant de toucher le sol, atteint bel et bien un point critique pour α = π/4 mais s’agit-il vraiment d’un maximum ?

Pour cela, étudions la dérivée seconde de x, en ce point critique.
Nous remarquons qu'elle est négative. Ce point critique est donc un maximum.

Conclusion :

En α= π/4, la fonction "distance parcourue avant de toucher le sol" atteint bien un maximum.

C’est donc finalement l’angle de 45° qui maximise la distance parcourue avant de toucher le sol.

Merci d'avoir lu, n'hésitez pas à poser vos questions
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