Coucou !

Ce #thread est la suite de celui d'hier, et on va reparler des équations de Navier-Stokes. Toujours en y allant doucement, le but c'est qu'un maximum de gens comprennent les concepts !

Aujourd'hui, approches lagrangienne et eulérienne. https://twitter.com/HumainCurieux/status/1308759353143504899?s=20

Hier, donc, on a vu comment s'écrivaient les équations de Navier-Stokes, et j'ai dit que ça regroupait BEAUCOUP de concepts.

Alors on va commencer par le 1er terme.

Et je ne me fiche pas de vous en vous prévenant qu'il y a déjà un paquet de choses à en dire.

"ρ", c'est la masse volumique. La quantité de masse qu'il y a "par volume". Ça s'exprime en kg/m3.

La masse volumique moyenne de l'air ambiant, c'est environ 1.2 kg/m3. Celle de l'eau, 1000 kg/m3.

Et la masse volumique, on peut l'utiliser de manière globale comme je viens de le faire avec "l'air ambiant", mais on peut aussi mesurer ou calculer précisément les différences locales de masse volumique.

Tout ça pour dire que la masse volumique est une grandeur potentiellement variable en fonction de l'espace et du temps.

Et dans ce terme, on s'intéresse à sa variation (sa dérivée, d'où les deux "D") en fonction du temps (t).

(Pour ceux qui ne se rappellent pas de ce qu'est la dérivée d'une grandeur, c'est un truc positif si la grandeur de départ augmente, nul si la grandeur est constante et négatif si la grandeur diminue.)

La subtilité, c'est qu'au lycée, une dérivée, ça ne s'écrit pas comme ça.

Si la fonction "ρ" dépend du temps, la dérivée s'écrit "ρ'(t)".

Sauf que comme je l'ai dit, ρ dépend non seulement du temps mais aussi de l'endroit. Donc ça dépend de t, mais aussi des variables d'espace, qu'on écrit de manière classique "x", "y" et "z".

Du coup on a une variation en fonction du temps, en fonction de la direction x, de la direction y et de la direction z.

Pour traduire ça en équation, on utilise cette écriture (et on appelle ça des dérivées "partielles").

Et notre Dρ/Dt, c'est preeeeeesque pareil que ça.

En fait dρ/dt c'est la dérivée partielle, celle qui prend le point de vue "Eulérien", et Dρ/Dt, c'est la dérivée "particulaire", qui prend le point de vue "Lagrangien".

Allez, accrochez-vous, c'est pas si dur.

Cette histoire de 2 points de vue est assez fondamentale en mécanique des fluides.

On va à nouveau faire un petit tour vers la mécanique du solide. Prenons un problème extrêmement classique : disons qu'on lance une balle en l'air.

(Source de l'illustration : http://www.tangente-education.com/article.php?art=4633&dos=169)

On s'intéressera au mouvement de la balle en fonction du temps. On dira "après 1 seconde, la balle se trouve en x= quelque chose et en z=quelque chose, a une vitesse v=quelque chose et une accélération a=quelque chose".

Maintenant revenons à la mécanique des fluides, avec un problème très classique à nouveau : un écoulement d'eau dans un canal (ici au niveau d'un déversoir).

(Source illustration : https://www.gunt.de/fr/produits/mecanique-des-fluides/ecoulement-stationnaire/ecoulement-dans-des-canaux-a-surface-libre/deversoirs-a-paroi-mince-pour-hm-150/070.15003/hm150-03/glct-1:pa-149:ca-790:pr-550)

On voit tout de suite qu'on ne peut pas dire "Après 3.4 secondes, l'eau se trouve en x = quelque chose". Ni même "l'eau a la vitesse v = quelque chose".

Et pourtant, l'objet d'intérêt, a priori, c'est bien "l'eau", comme c'était "la balle" tout à l'heure.

Face à ça, il y a deux solutions pour décrire notre problème.

1ère solution : on invente une "particule fluide", qu'on suit dans l'écoulement.
C'est le point de vue Lagrangien.

En gros, on s'intéresse au mouvement d'une très petite quantité de fluide au fur et à mesure du temps, dans notre écoulement.
Ça a l'avantage d'être assez intuitif quand on vient de la mécanique du solide, comme idée.

Par contre, c'est pas du tout adapté pour étudier une évolution en un point fixe dans l'écoulement.

Et ça, c'est ce qu'on fait avec le point de vue Eulérien. On regarde en chaque point de l'écoulement ce qui se passe, au fur et à mesure que le temps s'écoule.

Je vais terminer avec un dernier petit exemple pour vous faire sentir la différence entre les deux visions.

Imaginons un écoulement d'air très très rapide de la gauche vers la droite, vers un obstacle percé.

Au niveau de l'obstacle, la pression va être plus grande que loin à gauche, et si la vitesse est assez grande, la masse volumique va aussi suivre cette tendance.

(On appelle ce genre de variation continue dans l'espace un "gradient".)

(Et oui, je sais je sais, mes talents d'artiste méritent mieux que Paint pour faire des graphiques. Mais pour l'instant on s'en contentera. )

Bref.
Quelle est la variation de masse volumique en fonction du temps ?
Ben ça dépend laquelle.

Dans mon exemple, Dρ/Dt (pt de vue lagrangien) est non nul, alors que dρ/dt (pt de vue eulérien) est nul.

Les deux décrivent la "variation en fonction du temps", mais ne décrivent malgré tout pas la même chose.

On arrive au bout pour aujourd'hui !

Comme la dernière fois, si vous avez des questions / remarques, n'hésitez pas !

Bisous.

#TheEnd