[Thread sur la Mécanique Newtonienne : étude du mouvement : cas des rebonds]

Partie 2 : recherche d'une formule (généralisation)

(niveau lycéen)

Si vous n’avez pas vu la première partie, je vous redirige ici : https://twitter.com/maximev1314/status/1292247673223950340?s=20

Avant de débuter le thread, je tiens à dire que je ne serai pas seul ! En effet, @0xilight , ayant beaucoup contribué aux recherches, rédigera une partie du thread (nouveau concept ahah)

Donc quand vous ne verrez plus mon pseudo dans le thread, c’est qu’ @0xilight le continuera, et vice-versa jusqu’à ce que je clore !

Bien, commençons sans plus attendre.

Imaginons qu’on lance une balle avec une vitesse et un angle initiale connu. On les appellera respectivement V0 et θ0

(on néglige les forces de frottements avec l’air et on imagine que la balle n’effectue pas de rotations sur elle-même)

La seule force en action ici est la force de gravité P qui vaut le produit de la masse de l’objet (ici la balle bleue) et la constante d’intensité de pesanteur sur Terre g valant 9,81 m.s-2 .
La force est perpendiculaire au sol et est dirigée vers le bas

Bien, mais que se passe-t-il une fois que la balle touche le sol ?

Si vous avez lu mon ancien thread, la balle rebondira plus ou moins fortement selon le coefficient de restitution E (E proche de 0-> rebondit pas haut; E proche de 1-> rebondit haut)

En fait, lors de la collision, la balle reçoit une force normale au sol et vers le haut !

Les conséquences : une modification des vitesses et des angles initiales V0 et θ0 :

Ce qui m'amène à une petite correction au niveau du dernier thread :
j’avais écrit que la vitesse juste après un rebond était égale au produit du coefficient de restitution E et de la vitesse juste avant un rebond, par exemple: V1=E*V0 https://twitter.com/maximev1314/status/1292247750847930368?s=20

Mais c’est faux : la force étant normale au sol, elle ne modifie que la composante du vecteur vitesse en y

(un vecteur vitesse peut être décomposé en 2 autres vecteurs : un parallèle à l’axe des x et un autre parallèle à l’axe des y comme sur le schéma :)

Comme nous le pouvons remarquer sur le schéma, les vecteurs vitesses Vx avant et après rebond ne change pas !

Cependant, le vecteur vitesse Vy1 (après le rebond) est plus petit que le vecteur Vy0 (avant le rebond) car il est affecté par le coefficient de restitution E !

Ainsi, cette formule est fausse car ici, le coefficient de restitution affecte Vx et Vy. Or nous voulons que E ne modifie que la valeurs du vecteur Vy : https://twitter.com/maximev1314/status/1292247750847930368?s=20

Par contre, cette représentation est exacte : on voit que Vx ne change pas même après le rebond, mais Vy varie à cause de ce coefficient de restitution E :

Nous nous sommes intéressés seulement pour un rebond.

Maintenant, imaginons que la balle réalise un deuxième rebond.
Le vecteur Vx ne change toujours pas, mais le vecteur Vy varie toujours à cause de la force normale au sol:

Finalement, nous pouvons généraliser pour n rebond(s) ce modèle :

Vu que nous travaillons sur un modèle à deux dimensions dans un repère orthonormé, il suffit d’utiliser le théorème de Pythagore pour trouver Vn, soit :

Cette formule n’est pas pratique car Vx0 et Vy0 ne nous sont pas donnés dans l'énoncé. On a l’angle initiale θ0 et la vitesse initiale V0. Il nous suffit juste d’utiliser un peu de trigonométrie !

Finalement, nous pouvons avoir la vitesse Vn juste après n rebond rien qu’en mesurant l’angle initiale et la vitesse initiale!

Pour que ce ne soit pas trop important dans le reste du thread, nous réécrirons Vn de cette façon :

Bien, nous avons la vitesse V juste après n rebond(s).

Cependant, j’ai aussi écrit que l’angle θ variait au fil des rebonds : effectivement, il diminue jusqu’à lui aussi atteindre 0 (degré ici). Pourquoi ?

On sait que Vy diminue au fil des rebond, ce qui implique que l’angle juste après chaque rebond diminue.

Comment trouver θn dans ce cas ? Il suffit simplement d’utiliser la trigonométrie. Pour les curieux :

Bien, nous avons la vitesse et l’angle initiales après n rebonds, mais que faire avec ?

Recherchons une formule décrivant l’allure de la courbe pour n rebond. Pour ça, nous aurons besoin de la 2e loi de Newton. J’ai fait un petit rappel ici pour celles et ceux qui ont oublié:

Dans ce schéma représentant la trajectoire de la balle avec rebond, on remarque que chaque rebond se comporte comme un nouveau lancé avec des paramètres initiaux différents !

Pour la 1er courbe, les paramètres initiaux sont V0 et θ0, pour la 2e courbe : V1 et θ1 … Pour la n-ième courbe : Vn et θn

Au point de chaque collision, on place une origine pour étudier trajectoire de la balle avant que celle-ci touche le sol.

D’après ce qu’on a vu dans le rappel, nous pouvons écrire pour chaque courbe une formule dépendant seulement du nombre de rebond:

Ainsi, nous avons la formule permettant d’avoir la courbe représentative après n rebond(s) !

Il nous reste encore un problème : à chaque fois, nous changeons d’origine pour étudier la n-ième courbe.

Nous devons trouver un moyen permettant d’étudier la n-ième courbe sans changer de repère ! Pour cela, nous allons modifier un peu la formule que nous avons trouvé.

D’une part, nous allons placer l’origine au point du lancer du ballon.
D’autre part, nous noterons les points des collisions de la manière suivante : x0 pour le 1er rebond, x1 pour le 2e rebond... xn pour le n+1-ième rebond

Nous avons mis, dans la seconde loi de Newton, comme position initiale (0;0) pour chaque courbe vu que l’origine se trouvait à chaque fois sur la collision étudié.

Maintenant que nous n'avons qu’un repère, nous devons modifier ça (pour les courbes après 1 rebond ou plus) !

Par exemple, la position initiale pour y1(x) est (x0 ;0). Pour y2(x), on a (x1 ;0)… Pour yn(x), on a (x(n-1) ;0)…

On applique ce changement dans la seconde loi de Newton :

Suite du Thread par @0xilight https://twitter.com/0xilight/status/1299505785253306368?s=20