Qué es la sucesión de Fibonacci? Abro hilo

Pero primero, quién fue Fibonacci?  Leonardo de Pisa fue un matemático italiano. El apodo de su padre Guglielmo (Guillermo) era Bonacci que significa “bien intencionado”. Leonardo recibió el apodo de Fibonacci por “filius Bonacci”, es decir “hijo de Bonacci”

A pesar de haber nacido en Pisa, en 1192 se trasladaron al norte de África donde su padre dirigía un comercio. Fue donde Leonardo recibió su primera formación con matemáticos musulmanes y aprendió el sistema de numeración árabe.

Desde esa fecha y hasta 1200 que vuelve a Pisa recorre Provenza, Sicilia, Grecia, Berbería, Siria y Egipto. En esos viajes puede comparar la forma que tenían de calcular en cada lugar, con la ayuda del ábaco y del nuevo sistema de numeración de nueve cifras y el cero.

Cuando buscaba resolver un problema sobre la reproducción de los conejos, calculó que el número de parejas por mes está determinado por una sucesión. Después de un año la cantidad de conejos es el doceavo término de la sucesión: 144.

La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales definida por recurrencia, que comienza con los números 0, 1 y 1. Recurrencia significa que cada término se obtiene sumando los dos anteriores de manera que:

0+1=1 / 1+1=2 / 1+2=3 / 2+3=5 / 3+5=8 / 5+8=13 / 8+13=21 / 13+21=34...  Así queda la sucesión:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597… Hasta el infinito, y la fórmula es xn=xn-1 + xn-2

La sucesión no es ni aritmética ni geométrica. Si fuese aritmética, la diferencia entre términos consecutivos sería constante en toda la sucesión y esto no ocurre. Si fuese geométrica, el cociente entre términos consecutivos sería constante, pero tampoco es así.

Esta sucesión tiene la particularidad de aparecer repetidamente en la naturaleza y tiene aplicaciones en matemática, teoría de juegos, computación, en el arte, en la arquitectura, entre muchas otras.

Todos los términos de Fibonacci se pueden sumar y su resultado es mayor o igual que la suma de todos los naturales, pero como la suma de naturales es infinita, la de Fibonacci también lo es.

Está presente EN CASI TODAS LAS COSAS DEL UNIVERSO. También los números de Fibonacci tienen propiedades y una de ellas es que EL COCIENTE ENTRE DOS NÚMEROS CONSECUTIVOS se aproxima a la “razón dorada”, “divina proporción” o más conocido como el número de oro o número áureo.

Este número (descubierto por los renacentistas) tiene un valor de (1+ raíz de 5)/2 = 1.61803…, y se lo nombra con la letra griega φ (Phi). La sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números de Fibonacci consecutivos converge hacia el número áureo.

Estaban fascinados con este número porque lo consideraban el ideal de la belleza. Un objeto que tuviese una proporción (por ejemplo, entre el alto y el ancho) que se ajuste a la divina proporción era estéticamente más agradable que uno que no se ajuste.

A partir de esto surge un juego que usaron pintores (como Dalí en el surrealismo). Dentro del rectángulo se puede dibujar un cuadrado, que deja un nuevo rectángulo áureo más pequeño, y así sucesivamente. Después se crea una espiral que bordea hasta el rectángulo más grande

Otra de las numerosas propiedades del número de oro es que el propio número, su cuadrado y su inverso tienen las mismas cifras decimales:

La sucesión también aparece en el triángulo de Pascal, que es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.

Esto es, cada fila del triángulo representa los coeficientes de los monomios que aparecen en el binomio (a + b)n, o lo que es lo mismo, los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila del triángulo.

También aparece en las ternas Pitagóricas. Una terna consiste en una tripla (a, b, c) que cumple que a² + b² = c². Si tomamos cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci (x, y, w, z) podemos conseguir una terna pitagórica (teniendo en cuenta algunas reglas).

También se usa mucho en trading, los números de Fibonacci aparecen en los “Estudios de Fibonacci” que son una serie de herramientas de análisis basadas en la secuencia y proporciones que representan el comportamiento humano en los mercados financieros.

Las herramientas más conocidas en los mercados financieros son los retrocesos de Fibonacci, las extensiones, los arcos, el abanico y las zonas temporales. Otras menos conocidas son la elipse, la espiral y los canales de Fibonacci.

Para entender los estudios de Fibonacci, es necesario saber los conceptos de soporte y resistencia.

El soporte son los mínimos del gráfico, son los puntos en los que el interés de compra es tan fuerte como para superar la presión de venta y los precios suben.

La resistencia son los máximos. Representa un precio en donde la presión de venta supera a la de compra. Cuando una resistencia (en más de una ocasión) frena el ascenso de los precios, se produce un DOBLE TECHO. Esto es un nivel crítico que la cotización no puede superar.

Las relaciones más usadas en trading:
0.618 (61.8%): un número de Fibonacci divido por el número que le sigue se aproxima a 0.618
0.382 (38.2%): un número de Fibonacci dividido por el número que ocupa dos posiciones posteriores se aproxima a 0.3820.

(hay varias más)

Por otro lado, en cosmología buscan mapear la anatomía de nuestra galaxia y hacen un recorrido estético por el cuerpo luminoso y los brazos espirales de la Vía Láctea, y vieron que es casi perfectamente simétrica. La belleza matemática está en el universo y no es una sorpresa.

La simetría espejo-espiral de nuestra galaxia evoca la secuencia Fibonacci como si fuera un sello o firma divina del Gran Arquitecto.

También encontramos la sucesión en la música, tenemos los números de Fibonacci en la escala natural: 13 tonos de octava a octava, 8 teclas blancas (tonos) y 5 teclas negras (semitonos), divididos en grupos de 3 y 2.

Pero también se crean piezas musicales. La forma habitual de aplicar la sección áurea es buscar un punto de máxima tensión o un fuerte contraste, rítmico, melódico o armónico, justo en el punto en el que se situaría el número áureo con respecto a la duración total de la pieza.

Pero también podemos encontrar ejemplos sin que el compositor lo haya buscado de una manera consciente, como por ejemplo en Mozart "Sonata para piano N°1", en Beethoven "Primer movimiento de la sinfonía N°5" y en bandas como Radiohead en "In Rainbows"

Y por último les dejo imágenes en donde podemos ver la proporción divina en el cuerpo humano.

Tenemos a Fibonacci en nuestras manos.