Read on Twitter
Preuve que 1/0 = ∞
[THREAD, à lire jusqu& #39;à la fin!]
[THREAD, à lire jusqu& #39;à la fin!]
Imaginons un plan à 2 dimensions, quadrillé de façon régulière :
On imagine une droite dans ce plan, qui passe par l& #39;origine. Par exemple cette droite, dont la pente est de 1/2.
Quelle que soit la pente "P" de la droite qu& #39;on a choisie, on remarque que la droite qui est son symétrique par rapport à la diagonale possède la pente 1/P.
Par exemple ici, la droite bleue, qui est la version symétrique de la droite rouge, a une pente de 2.
Par exemple ici, la droite bleue, qui est la version symétrique de la droite rouge, a une pente de 2.
Ainsi, si on choisit la droite horizontale, de pente 0, on trouve que son symétrique est la droite verticale, de pente infinie.
On a démontré que 1/0 = ∞
... mais est-ce vraiment valide ?
On a démontré que 1/0 = ∞
... mais est-ce vraiment valide ?
Comme vous pouvez vous en douter, il y a une subtilité dans cette "preuve".
En mathématiques, il est très important de définir les termes qu& #39;on utilise, ainsi que la façon dont on les manipule.
En mathématiques, il est très important de définir les termes qu& #39;on utilise, ainsi que la façon dont on les manipule.
Dans cet exercice on a manipulé des pentes de droites. Dans l& #39;espace des différentes "pentes de droites", il est tout à fait valide de dire que "1/0 = ∞", pour dire que "la pente de la droite symétrique à l& #39;horizontale, est verticale".
Mais tous les termes qui sont utilisés ici n& #39;ont pas grand chose à voir avec nos nombres habituels !
Le "1/" ne doit pas être confondu avec l& #39;opération "inverse" des nombres réels par exemple
Le "0" ne correspond pas forcément au nombre "0"
Et encore moins le symbole "∞" !
Le "1/" ne doit pas être confondu avec l& #39;opération "inverse" des nombres réels par exemple
Le "0" ne correspond pas forcément au nombre "0"
Et encore moins le symbole "∞" !
Quand on parle de nombres réels, le symbole "∞" ne représente rien de concret. Ce n& #39;est pas un nombre. On ne l& #39;utilise que pour parler du comportement de certaines fonctions (les limites)
Mais quand on parle de la pente d& #39;une droite, le symbole "∞" est tout à fait légitime, et on l& #39;utilise pour dire "verticale".
Cet espace, qui regroupe l& #39;ensemble des pentes de droites est ce qu& #39;on appelle "l& #39;espace projectif de dimension 1".
Cet espace, qui regroupe l& #39;ensemble des pentes de droites est ce qu& #39;on appelle "l& #39;espace projectif de dimension 1".
