Dari segi kekuatan daya kira, sememangnya kaedah ini bagus. Namun, kalau dari segi keindahan, kaedah Al-Khawarizmi lebih menambat hati.

Setelah menelaah kaedah Al-Khawarizmi, aku dapat hayati maksud "Completing the Square" yg digunakan utk sampai ke rumus ini.

Ini adalah Thread https://twitter.com/Harrsenical/status/1131546185238495233

Menurut pemahaman moden, persamaan kuadratik ada satu jenis asasi, iaitu ax^2 + bx + c = 0.

Al-Khawarizmi pula membayangkan tiga jenis persamaan kuadratik bersama tiga penyelesaian yang berbeza.

Perbezaan ini muncul sebab perbezaan gaya fikir zaman itu dengan zaman sekarang.

Ada dua perbezaan ketara dalam pemikiran matematik zaman itu ialah:

1) Waktu itu, nombor negatif tidak wujud.

2) Matematik zaman itu lebih bersifat geometri berbanding sekarang yang bersifat abstrak.

Lagi satu, yang serupa dengan nombor (2), ialah zaman itu tiada simbol untuk anu (x, y, z) dan juga untuk pengoperasian (+, -, *, /)

Setiap perbahasan dikemukan dalam bentuk ayat. Berpinar mata membaca bukunya. (@.@) Aku perlu conteng nota untuk selarikan dengan gaya moden.

Setiap persamaan kuadratik ada tiga unsur. Al-Khawarizmi menamakannya kuasa dua (x^2), punca kuasa (x), dan nomnbor (a,b,c).

Tiga jenis yang disebut Al-Khawarizmi ialah:

1) x^2 + bx = c
2) x^2 + c = bx
3) x^2 = c + bx

Lihat bagaimana ketiga-tiga jenis itu mengelak negatif.

Bagaimana pula penyelesaiannya? Kita bongkar satu per satu.

Jenis (1) adalah yang paling mudah.

[1] Bayangkan x^2 dan bx itu membentuk segi-4 yang jumlah luas ialah c. By definition, x^2 adalah segi-4 sama.

[2] Bahagikan b menjadi 2.

[3] Bawa salah satu serpihan tadi ke bawah

Dari sini, jumlah luas c tadi tidak berubah. Akan tetapi, kita sudah mengubah bentuk menjadi satu segi-4 yang tidak sempurna.

[4] Munculkan ruang merah itu lalu sempurnalah segi-4 JKLM. Ruang merah itu diketahui nilainya, iaitu (setengah b)^2.

Dengan mengetahui nilai ruang c dan nilai ruang merah, kita tahu nilai ruang keseluruhan segi-4 JKLM.

[5] Setelah mendapat nilai ruang JKLM, carilah punca kuasa ruang itu, lalu dapatlah panjang sisi segi-4 itu. Dari situ, bolehlah dapat x bila tahu nilai b.

Penyelesaian untuk jenis kedua itu perlukan lebih sedikit daya fikir.

[1] Bayangkan x^2 dan c itu membentuk segi-4 yang jumlah ruangnya ialah bx. Sama juga, x^2 semestinya segi-4 sama.

[2] Bahagikan b kepada dua. Akan ada satu bahagian yang aku tandakan S.

[3] Bawa S ke atas.

Sekarang, kita sudah mengubah bentuk ruang c tanpa mengubah nilai ruangnya. Bentuknya ialah segi-4 yang tak sempurna.

[4] Munculkan ruang merah, maka sempurnalah segi-4 JKLM. Ruang JKLM ini diketahui nilainya, iaitu (setengah b)^2.

Dengan mengetahui ruang JKLM, dan ruang c, kita boleh tahu nilai ruang merah.

Punca kuasa ruang merah itu sama dengan panjang MN. Dari situ, kita dapat mencari panjang x.

Jenis ketiga pulak, x^2 = bx + c

[1] Bayangkan bx dan c itu membentuk segi-4 sama yang jumlah luas ialah x^2.

[2] Bahagikan b kepada 2 lalu munculkan segi empat sama berwarna merah yang sisinya ialah setengah b.

[3] Daripada panjang KL, bina satu lagi segi-4 sama JKLM.

Akan ada satu ruang P, dan ruang itu sebenarnya sama dengan ruang Q.

[4] Maka, dapatlah ditunjukkan bahawa ruang segi-4 JKLM itu adalah sama dengan ruang c tambah ruang merah.

Lalu, punca kuasa segi-4 JKLM dapat dicari.

Dengan mengetahui punca kuasa segi-4 JKLM, serta nilai setengah b, kita akan tahu nilai x.

Daripada sini kita dapat lihat bahawa setiap satu daripada tiga kaedah tadi melibatkan segi empat yang tidak sempurna, lalu disempurnakan. Hal ini yang aku kata aku dapat menghayati makna Completing the Square (yang seharusnya diterjemahkan sebagai Penyempurnaan Segi Empat)

Jika kita teruskan lagi penelitian kaedah ini melalui kaca mata moden, kita mendapati ketiga-ketiga segi-4 yang dibina tadi adalah jasad kepada rumus yang kita selalu lihat. Ini adalah bentuk fizikal rumus tersebut!

Hal ini yang mengagumkan aku.

Selama ini kita menggunakan kaedah abstrak untuk mendapatkan jawapan. Bila mendapat tahu akan satu bentuk yang dapat dibayangkan, otak kita berasa puas.

"Oh, begitu rupanya!" teriak kita bila tahu bentuk fizikal sesuatu rumus.

Namun, kaedah Al-Khawarizmi ini lebih lemah. Sebabnya:

1) Ia hanya menjumpai satu punca walaupun setiap punca kuadratik sebenarnya ada dua.

2) Ia tidak dapat mencari punca negatif dan punca khayalan.

Maka, rumus kuadratik lebih bagus dalam hal mencari jawapan.

Begitulah kisahnya. Kalau kalian masih tergapai-gapai dalam konsep2 abstrak dan ingin mendapatkan gambaran fizikal konsep2 tersebut, boleh ke @3blue1brown di YouTube. Semua videonya adalah tentang "menggambarkan Matematik".

Boleh cuba tengok video ini:

Jika ada sesiapa yang ingin menelaah karya Al-Khawarizmi, bolehlah ke Institut Terjemahan Bahasa Melayu @rakanITBM. Tajuknya "Algebra".

Ada banyak lagi permasalahan yang dibincangkan dalam buku yang aku belum sempat telaah. #MalaysiaMembaca

Aku lihat dari respons, ramai gak yang kata pening atau susah nak faham.

Pertama sekali, thread ini adalah cabaran buat aku. Tidak pernah aku buat thread pasal kaedah Matematik. Meringkaskan langkah-langkah itu tidak semudah yang aku sangka.

Kedua, utk mudahkan pemahaman, ambil kertas dan cuba ikuti langkah yg diberi satu per satu. Gambar pun sudah disediakan langkah demi langkah.

Bila sudah disediakan kertas dan diikuti langkah satu per satu, nescaya mudahlah difahami kaedah ini.

Malah, petua ini bukan sahaj terpakai untuk Thread ini, tetapi juga untuk mana-mana bahan Matematik.

Ramai silap memikirkan Matematik boleh dibaca imbas sahaja, lalu mereka akan terkeliru akan kaedahnya. Sentiasalah bersedia untuk menconteng bila menelaah bahan Matematik.

Ini adalah contoh contengan yang aku buat pada buku Algebra. Aku pun asalnya pening, tapi lepas berkali-kali conteng, sudah faham.

Jangan takut untuk menconteng. Rajin-rajinkan diri menconteng.

Aku ada menyedari beberapa kesalahan dalam gambar, terutamanya yang ke-3 dan ke-4.

3) patutnya b bukan setengah b kat nombor 1
4) patutnya setengah b - x bukannya x - setengah b kat nombor 2

Maka, kalau ingin disebarkan, sebarkanlah yang ini.